排列

相关定义

排列
n 阶排列是 n 个有序的数组成的的排列
一共有 n! 个 n 阶排列.
数对
排列中任意两个数组成的二元组.
顺序
数对 (i, k)(i k).
逆序
数对 (i, k)(i k).
逆序数
排列中逆序的个数。记为 τ(12345...)
奇偶排列
逆序对为偶数的是偶排列，为奇数的是奇排列.
自然排列
按 12345 的顺序的排列.
对换
交换排列中的任意两个数.

相关定理

排列对换改变奇偶性.
n 阶排列中奇偶排列各占一半.

行列式

相关定义

主对角线
"" 方向的对角线.
次对角线
"/" 方向的对角线.
转置行列式
设 , 则 即为转置行列式.
余子式 ()
在 n 阶行列式 D=|| 中， 去掉第行和第列交叉点所有的元素 , 剩下的元素按原来的相对位置构成的行列式叫做 D 中 k 阶子式的余子式.
代数余子式 ()

子式 ()
在 n 阶行列式中选取 k 行 k 列， 将交叉点处的元素按原来的相对位置组成一个新的行列式， 成为 D 的一个 k 阶子式.
拉普拉斯定理
在 n 阶行列式 D 中给定的 k 行的所有的子式乘上对应的代数余子式的和等于 D 的值.

计算方法

二阶：主对角元乘积 - 次对角元乘积.
三阶：穿针法.
n 阶：从 1-n 行，每行选取一个与之前所选元素不重复的列的元素相乘， 将所有可能相加.
定义公式: $ D=|a_{ij}|n=(-1)^{(i_1i_2...i_n)} + {k_1k_2k_3...k_n}(-1)^{(k_1k_2...k_n)}a_{i_1k_1} a_{i_2k_2} a_{i_3k_3} ... a_{i_nk_n} (i_1i_2i_3...i_n)$ 为一个给定的排列.**
实际操作：利用含有 1 的列不断将同列其他元素变为 0 后再展开依次降阶.

相关性质

  • 行列式具有对称性.
  • 交换行列式中任意两行，行列式的值变为相反数.
  • 行列式中两行成比例，则行列式值为 0.
  • 行列式中一行元素乘 k, 行列式值乘 k.
  • 若行列式存在 0 行，值为 0.
  • 若行列式中一行的每个元素都是两个元素的和， 则行列式值等于分别用和替换该行元素的两个新行列式的值的和.
  • 行列式中一行元素乘上 k 后加到另一行对应列元素上，行列式值不变.

乘积公式

设两个 n 阶行列式则
则

求导运算

对一个行列式求导等于对行列式每一单独行求导， 其它行不变组成的多个行列式的和.

特殊的行列式

范德蒙德行列式 箭形行列式 X形行列式

矩阵

相关定义

行矩阵 (行向量)
仅有一行的矩阵.
列矩阵 (列向量)
仅有一列的矩阵.
零矩阵 (O)
所有元素都为 0 的矩阵.
方阵 ()
行数等于列数的矩阵.
对角矩阵
除了主对角线上其他元素都为 0 的矩阵.
单位矩阵 (E)
主对角元全为 1 的的对角矩阵.
数量矩阵
主对角元相等的对角矩阵.
三角矩阵
主对角线一边元素全为 0, 另一边全不为 0 的矩阵.
对称矩阵
关于主对角线对称位置元素相等的矩阵.
反对称矩阵
关于主对角线对称位置元素为相反数的矩阵.
同类型矩阵
行数相等，列数也相等的多个矩阵.
初等矩阵 (R)
单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵.

运算法则

数乘

kA 即为 A 中每个元素乘上 k.

互乘

设 , 则 其中 互乘运算律:
设 A = .
1. 互乘 不满足交换率.
3. 互乘 不满足消去律.
2. 两个非零矩阵的互乘可能是零矩阵.
4.
5. 互乘有分配律.
6. 若则
7. 若矩阵 , 则 | kA| =
8. 等式两边乘一个矩阵时，只能同时在左边或右边乘.

转置

共扼

A 的共扼矩阵为

逆矩阵

相关定义

逆矩阵
对于 n 阶方阵 A, 如果存在 n 阶方阵 B, 使 AB=BA=E, 则 A,B 互为逆矩阵，记为.
奇异矩阵 (不可逆矩阵 / 满秩矩阵)
若 | A|=0, 则 | A | 是奇异矩阵.
非奇异矩阵
若 | A| != 0, 则 | A | 是非奇异矩阵.
伴随矩阵 ()
对 n 阶方阵 B, |B | 的各个余子式按的格式构成的行列式为 A 的伴随矩阵.

定理

  • A 的逆矩阵最多一个.
  • 设 A 为 n 阶方阵，A 可逆的充要条件是 | A| != 0,
  • 对于 n 阶方阵且 , 则到都可逆.

运算性质

  • 则
  • 证明
    若两边取行列式得.
    若 , 则易证.
  • 对角矩阵 A 的逆矩阵即对角元倒数组成的矩阵.
  • 二阶矩阵快速求法 主对调，副变号， 再处以矩阵对应的行列式

矩阵的初等变换和矩阵的秩

相关定义

初等行 (列) 变换:
1. 交换矩阵两行 (列).
2. 矩阵某一行 (列) 乘上一个不为零的数.
3. 矩阵某一行 (列) 加上另一行 (列) 的某个倍数.
阶梯形矩阵：在行号递增下， 非零行的第一个非零元素所在的列号递增的矩阵.
规范 (简化的) 的阶梯形矩阵：非零行第一个元素为 1, 且该元素所在的列的其他元素为 0 的阶梯形矩阵.
标准形矩阵：左上角为单位矩阵，其它元素为 0 的矩阵.
矩阵的轶 (r (A)) : 存在不为零的最高阶子式.
k 阶子式：矩阵 A 中任取 k 行 k 列的 k^2 个元素组成的行列式.
线性方程的矩阵表示 : Ax = B, A 由线性方程左侧含有 x 项的系数组成， B 由等号右边的常数项组成.

相关定理

  • 任何矩阵经过初等 行变换就可以变为简化的阶梯形矩阵.
    方法：逐列检查法
    找到列号最小的非零列的第一个非零元素，使它到第一行， 然后通过 3 号变换使其之下的元素变为 0
    对第一个非零行的第一个非零元素右下角的子矩阵重复上一步和这一步
  • 任何矩阵经过初等变换就可以成为标准形矩阵.
  • 阶梯形矩阵等于它的非零行个数.
  • 子矩阵的秩小于等于矩阵的秩.
  • 初等变换不改变矩阵的秩.
  • 初等矩阵左乘矩阵 A 为对 A 做相应的初等行变换，右乘为列变换， 因此 A 可以通过乘上一系列初等矩阵成为标准形矩阵.
  • 初等矩阵都是可逆矩阵， 其逆矩阵为原先单位矩阵做初等变换的逆变换.
  • 矩阵 A 可逆的充要条件是 A 能写成一系列初等矩阵乘积.
  • n 阶方阵 A 可逆的充要条件是 A 的标准形矩阵为 n 阶单位矩阵.
  • 任何可逆矩阵都可经过初等 行变换为单位矩阵.
  • 设 A 为 mn 矩阵， 则 r (A)=1 的充要条件是不为 0 的 m$ 矩阵和 $n 矩阵 C 使得 A = BC.
  • 矩阵的秩和标准形矩阵相同的多个矩阵等价.
  • r(A + B) r(A) + r(B)
    证明
    • max(r(A), r(B)) r(A B) r(A) + r(B)
  • r(AB) min(r(A), r(B))
    证明
  • 设 , 则 r (A) + r (B) n.
    证明

初等变换求矩阵的逆矩阵

因为任何可逆矩阵都可经过初等 行变换为单位矩阵，所以 A = PE, P 是一系列初等矩阵的乘积，所以 , 若则 , 结合 A = PE 得到的. 利用分块矩阵， .
那么，只要构造 n$ 阶方阵并对其做初等行变换至变为则就变为 A^{-1}$; 若无法达成， 则 A 不可逆.
类似，AX = B 的方程可以将 (A B) 初等行变换成 (E ) 来解决.
XA = B 的方程可以通过转置变成 AX = B 形式.

分块矩阵及其初等变换

乘法定义：若未分块矩阵 A 和 B.
行列式第一降阶定理 : M = 其中 A, D 为方阵，|A| != 0, 则 | M| = |A||D - CB|.
初等变换: 1. 交换分块矩阵的两行. 2. 用一个合适的可逆矩阵左 (友) 乘某一行 (列). 3. 将某一行 (列) 的各个子块加上一个合适的矩阵左 (右) 乘另一行 (列) 所得的对应子块.

n 维向量

相关定义

n 维向量
n 个数组成的有序数组。默认列向量.
分量
向量中的任意一个数.
零向量
所有分量全部为 0 的向量.
向量相等
每个分量都相等的同维向量相等.
线性组合 (线性表示)
对 n 维向量若存在数使得则称 b 是向量的一个线性组合，这些 k 为组合系数或称表示系数.
向量组等价
多个彼此可以互相线性表示的向量组.
线性相关
若存在不全为 0 的实数使 , 则称这些向量线性相关.
截短向量与接长向量
从原始向量的一部分为原始向量的截短向量， 原始向量是那一部分的接长向量.
极大线性无关组 (极大无关组)
设 () 是向量组的一部分， 若 b 向量组线性无关且 a 向量组的每一个向量都可以由 b 向量组线性表示， 则称 b 组是 a 组的极大无关组.
向量组的秩
零向量组的秩为 0, 非零向量组的秩为其极大无关组的向量个数.
矩阵的列 (行) 秩
矩阵 A 的列 (行) 向量组的秩称为矩阵的列 (行) 秩.

相关定理

  • 与 b 线性相关的充要条件是其对应的线性方程组有解.
  • 可由线性表示的充要条件是以为列构造的矩阵与为列构造的矩阵的秩相等.
  • n 维向量线性相关的充要条件为对应的齐次线性方程组有非零解， 也即 |()| = 0 或 r () 未知数个数或的维数 n.
  • 线性相 (无) 关，则其中任何部分的向量之间也线性相 (无) 关.
  • 若一些向量线性无关，则他们的接长向量也线性无关.
  • 一个向量组的所有极大无关组与该向量组等价.
  • 向量组有极大无关组的充要条件是向量组里存在非零向量.
    因为含有零向量矩阵一定线性相关，则必要性得证.
    下面证明充分性，设 a 向量组中至少一个非零向量， 则从它不能表示的向量组中的向量中挑一个与它组成新的向量组， 则这两个向量线性无关，递归以上过程直到出现极大无关组.
    因为以上过程一定可行，则充分性可证
  • 两个向量数为 s 和 t, s>t 的向量组 a, b, 若 a 能被 b 线性表示， 则 a 线性相关.
    欲证明此事，只要有不全为零的数 , 令即可
    设 , 则
    合并以上 s 个等式.
    设 C 为右边的矩阵，Cx = 0
    则因为 s>t, r (C) = r () s, 故上面的方程组有非零解.
    即存在 , 使得 C = 0.
    因为.
    得证.
    • 逆否命题：若 a 向量组线性无关，可由 b 向量组表示， 则 a 向量组的向量个数 b 向量组的向量个数.
    • 推论：两个线性无关的等价向量组必有相同向量个数.
    • 推论：同一向量组的极大无关组向量个数相等.
  • 向量组线性无关的充要条件是向量组的秩等于向量组的向量个数.
  • 等价向量组秩相等.
  • 向量组内任意一个向量个数等于向量组的秩的子向量组都是原向量组的极大无关组.
  • 若向量组 a 可以由向量组 b 线性表示，则 a 的秩 b 的秩.
  • 矩阵 A 的列向量组的秩等于矩阵的秩.
    • 对矩阵做初等行变换不影响列向量的线性关系， 可以以此求解向量组的秩与极大无关组.
  • 若向量组 a 线性无关，可由向量组 b 表示， 则系数构成的矩阵 A 的秩就是 b 向量组的秩.
    • 若 A 的列向量组的极大无关组为 c, 则 b 中对应编号的向量构成的向量组 d 就是 b 的极大无关组.
    • A 的第 k 列由 c 线性表示的系数即由 d 线性表示的系数.
  • 若向量组线性无关，加入向量的向量组 a + 线性相关，则 b 可由 a 线性表示， 系数唯一.
    证明 因为和线性相关，所以存在不全为零的实数 , 使得

运算律

同矩阵运算律.
只有所有分量相等的两个向量才相等.

解线性方程组

方程组形式

矩阵形式: Ax = b, 其中 A 是一个矩阵，x 是一个列向量 (又称解向量), b 是一个列矩阵.
向量表示: .
其中 , 为等式右边常量组成的列向量.

相关定义

齐次线性方程组
等式右边的常数为 0 的方程组.
同解方程组
解集相同的多个方程组.
自由未知量
用以表示其它未知量， 而自己没有确定取值且未被其他未知量表示的未知量.
基础解系
设为一组解向量， 若他们线性无关且可以线性表示任意一个解向量， 则称他们为方程组的一个基础解系，本质上是向量组的极大无关组.
导出组
对一个非齐次线性方程组， 另右边常数项为 0 得到的齐次线性方程组为那个非齐次线性方程组的导出组.

相关定理

齐次线性方程组

  • 设线性方程组 Ax = B, 当 r (A) = r () = n 时，方程组有唯一解，若 r (A) = r () n, 方程组有无穷多解，若 r (A) != r (), 方程组无解.
  • 因为解向量的线性组合也是齐次线性方程组的解， 所以含有非零解的齐次线性方程组有无穷多解.
  • 经过初等变换的方程组的解与原方程组的解相同。由此可得出齐次线性方程组总有解， 且若方程个数小于未知量个数则必有非零解.
  • 若 r (A) 未知数个数 n, 则任意 n-r (A) 个解向量组成的的向量组是一个基础解系.

非齐次线性方程组

  • 若 a, b 是两个解向量，则 a-b 为导出组的一个解向量.
  • 若 y 是一个解向量，n 是导出组的一个通解，则 y+n 也是一个解向量.
  • 任意解向量可以表示为特解 y + 导出组的某个解向量 n.
  • 若方程组满足 r (A) = r (A, b), n 是导出组的基础解系，y 是一个特解， 则方程组的通解为 y+n.

高斯消元法

设未知数个数为 n.
考虑线性方程组 AX = B (A, B 是矩阵), 则称 C = (A, B) 为这个方程组的增广矩阵.
如果 B 中所有元素为 0, 为齐次线性方程组.
若将每个 x 的代入方程组中成立的取值按顺序组成一个列向量， 则称其为那个方程组的解向量.
方程组的高斯消元法本质上等价于对其增广矩阵进行初等行变换到规范的阶梯形矩阵.
化解增广矩阵时，如果最下面一个常数元素无法化成 0, 则原方程无解.
如果那个常数元素为 0, 但是矩阵的秩小于未知数个数，则方程有无数多解. 若相等，方程有唯一解.

Cramer Theorem

n 元线性方程组系数行列式 D 不为 0 是此方程组有唯一解的 充分不必要条件.
其中为将 D 中 j 列换成方程组右边常数的行列式.
若齐次线性方程组的 D 不为 0, 则其只有一 x 全为 0 的解。反之，可能有非零解.

线性空间

相关定义

数域
设 P 为一个包含 0, 1 的数集，若 P 中数的和差积商都在 P 中， 则成 P 是一个数域.
维数
设 V 是数域 P 上的线性空间，若是 V 中 n 个线性无关的向量，且 V 中任意 i 向量都可以由他们表示， 则称 V 为 n 维线性空间。类似极大无关组，注意的线性子空间不一定是 n 维向量.
基
维数定义中就叫 V 的一组基.
坐标
任何数域 P 上的线性空间 V 中的任何一个元素 y 都可以写成其中 a 向量组是一组基，所以可以将线性空间中的元素称为向量， b 向量组称为坐标.
同构
设 V 和 K 都是实线性空间，f 是 V 到 K 的双射若 a, 若 f 和同一项中的常数在运算中可以互换，则 V 和 K 同构.
过渡矩阵
设 , a,b 向量组是 n 维线性空间 V 的两组基，若有 b = aC, 则称 C 是基 a 到基 b 的过渡矩阵.
欧氏空间
定义了内积的实线性空间.
长度
设 V 是欧式空间，则 aV 的长度为
a 的单位化
通过得到的单位向量.
夹角
设 V 是欧式空间，对非零的 a, bV, 定义 a, b 的夹角 a, b = arccos
正交
元素 a, b 垂直时.
距离
欧式空间 v 中元素 a, b 之间的距离为 | a-b| 正交向量组
若欧式空间 v 中一组非零向量两两正交，则称为一个正交向量组 正交基
两两正交的一组基.
标准正交基
所有向量都是单位向量的正交基.

运算定义

设 p 是一个数域，v 是一个非空集合.
加法：如果对任意两个元素 a, bv, 总有唯一的 yv 与之对应， 则称 y 是 a 与 b 的和。数乘：如果对于任一数 kp 与与任意元素 av, 总有唯一元素 dv 与之对应，则称 d 为 ak 的的积.
线性空间：满足以下 8 条运算律， 且对于加法和数乘封闭的空间称为线性空间.
1. a + b = b + a.
2. a + b + c = a + (b + c)
3. V 中存在元素 0, 使得 aV 都有 a + 0 = a
4. 对任何 aV, 都有 a 的负元素 b, 使得 a + b = 0
5. 1a = a
6. abc = a(bc)
7. a(b + c) = ab + ac
8. (a + b)c = ac + bc
线性子空间：线性空间 V 中仍为线性空间的一个 V 的子集.
生成的线性子空间：设 V 为 P 上的线性空间，, 则 L () = {} 是 V 的子空间，成为由生成的子空间.
内积 : , 记 (a, b) V 是一个实线性空间，若存在唯一实数与他们对应，且满足
1. (a, b) = (b, a)
2. (ka, b) = k(a, b)
3. (a+b, c) = (a, y) + (b, y)
4. (a, a) 0, 当且仅当 a = 0 时取 =
+ 在中， 定义内积为 a,b 对应元素乘积的和.
+ 在实线性空间中， 定义 A = , 的内积为 ()
+ C [a, b] 中对任意 f (x), g (x) 可定义内积为
+ 标准正交基下元素的内积和长度计算等价于对应坐标向量的计算.

线性空间的性质

  • 负元素和零元素唯一
  • 0a = 0
  • a0 = 0
  • -1a = -a

相关定理

  • 线性空间 V 的子集 L 是线性子空间的充要条件是 L 对 V 中的线性运算封闭.
  • V 与 K 同构，f 是 V 到 K 的双射，则 V 中向量组线性相关的充要条件的是 f (), f() f() 线性相关，否命题也成立.
  • 同构的实线性空间有相同的维数.
  • 任何一个实 n 维线性空间与是同构的.
  • 因为同构映射保持了向量之间线性关系的相同， 所以讨论 V 中元素关系就可以讨论坐标向量的线性关系来进行.
  • 设 C 是基 a 到基 b 的过渡矩阵，则 C 的第 j 列就是在 a 下的坐标.
  • 设 C 是基 a 到基 b 的过渡矩阵，则 C 的列向量组线性无关，C 是满秩.
  • 设 C 是基 a 到基 b 的过渡矩阵，若元素 k 在 a 下的坐标为向量组 , 在 b 下的坐标为 , 则.
  • 设 a, b 是欧式空间 V 内的元素，k 是任意实数，则:
    • |a| 0, 当且仅当 a=0 是取等号.
    • |ka| = k|a|
    • |(a, b)| |a||b|, 当且仅当 a, b 线性相关时成立

常见的线性空间

  • 全体 n 维向量.
  • 全体 mn 矩阵.
  • 次数小于 n 的全体多项式 (记为)
  • 正弦函数的集合.
  • 齐次线性方程组的全体解向量.
  • [a, b] 上的全体实连续函数.

Gram-Schmidt 正交化法

设是欧式空间 B 的一组基。令 按照 单位化 得到与 a 向量组等价的正交基 c. , 且两边对应的部分也等价.

矩阵的对角化

相关定义

特征值
设 A 是数域 P 上的 n 阶方阵，若存在数 kP 和 P 上的 n 阶非零列向量 a 使得 Aa = ka, 则称 k 是 A 的特征值，a 是 A 对应 k 的特征向量.
特征子空间 ()
设 A 是数域 P 上的 n 阶方阵，k 是 A 的特征值，则 {A 对应于 k 的所有特征向量}{0} 是 (kE-A) X = 0 的解空间， 称为 A 对应于 k 的特征子空间.
特征多项式
设 A 是数域 P 上的 n 阶方阵，k 是 A 的特征值，则 f (k) = |kE - A | 为 A 的特征多项式.
特征方程
将特征多项式取值为 0 得到的关于 k 的方程.
迹
设 n 阶方阵 A, 则成为 A 的迹， 记作 tr (A)
代数重数
若对于方阵 A, k 为 n 重特征值，则 n 为 k 的代数重数.
几何重数
设 k 为 A 的特征值，r 为的维数， 则称 r 为 k 的几何重数.
相似矩阵
设 A, B 为 n 阶方阵，若 P, 使得 , 则称 A, B 相似.
正交矩阵
若 , 则其为正交矩阵.

相关定理

  • n 阶方阵 A 的特征值即 (kE - A) X = 0 有非零解的 k 值.
  • 设 k 是方阵 A 的一个特征值，是对应 k 的特征向量，任取 ,, 若 , 则其也是对应于 k 的特征向量.
  • 一个特征向量对应唯一特征值，但一个特征值可以对应多个特征向量.
  • n 阶方阵 A 有 n 个特征值 (可以相等), 且有


  • 对应与不同特征值的特征向量之间线性无关.
    • 设是方阵 A 的 n 个互异特征值，则是对应于的特征向量，则线性无关.
  • 的特征多项式与的特征多项式相同.
  • 设 k 为 A 的特征值，a 为 A 对应于 k 的特征向量，则有为 kA 对应于 a 的特征值，为对应于 a 的特征值，g (A) = , 则 g (k) 为 g (A) 对应于 a 的特征值，qC, C.
  • 为的特征值，特征向量不变.
  • 为的特征值， 特征向量不变.
  • 如果方阵的一个特征值 k 为 n 重特征值，则的维数 n.
  • 一个 n 阶方阵的代数重数和为 n.
  • 相似矩阵具有自反性，对称性，传递性.
  • 若 A~B, 则 | kE - A| = |kE - B|.
    • kA ~ kB
    • ~
    • g (A) ~ g (B), g 的定义见上.
  • 存在对角矩阵 B, 使 n 阶方阵 A 与 B 相似的充要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量， 且这个存在的 B 的主对角元为 A 的每个特征值.
  • n 阶方阵 A 相似对角矩阵的充要条件是 A 的每个特征值的代数重数等于几何重数.
  • A 是正交矩阵的充要条件是 A 的列向量是两两正交的单位向量组.
  • 若 A 是正交矩阵，则
  • 若 A, B 是正交矩阵，Ab 也是正交矩阵.
  • 正交矩阵的实特征值只能为 1 或 - 1.
  • 对称矩阵的特征值与特征相量为实数.
  • 对对称矩阵 A, 若 k h, 特征值 k 对应的向量 a 与特征值 h 对应的向量 b 正交.
  • 实对称矩阵每个特征值的代数重数等于几何重数.
    • 设 A 为实对称矩阵，则必定存在正交矩阵 Q 使得 AQ 为对角矩阵.

求特征值与特征向量

特征值：求出特征方程的所有解.
特征向量：对于特征值 , 求出的基础解系， 则那个基础解系就是对应的特征向量.

判断并求出 n 阶方阵 A 相似的对角矩阵

(1): 求出 A 的所有特征值，设 A 有 s 个不同的特征值 k, n 为对应的代数重数.
(2): 对每一个特征值 , 验证 r () = n - , 若任何一个为否， 则 A 无相似的对角矩阵.
(3): 对 , 求的基，把这些基作为列向量构造 P, 则按照列向量与特征值一一对应的顺序排成的 diag (k) 即为所求.

实对称矩阵 A 的对角化

(1): 求出 A 的特征值.
(2): 将每个特征值对应的特征向量正交单位化.
(3): 将它们组合起来组成 Q. (4): 将特征值按照 Q 中特征向量对应的顺序写成对角矩阵.