三角不等式

基础

相关定义

邻域默认开邻域.

相关定理

实数集具有完备性。确界原理：非空有上界的实数集一定有上确界， 有下界的实数集一定有下确界。反函数定理：严格单调的函数存在反函数.

数列的极限

极限

定义: 设数列为给定常数对于使时有则称当时的极限记作或 几何解释: 课本

定理

  • 有界性: 设使则为有界数列为一个界
  • 单调性: 设对有或则称单调增加或单调减少如果是与则为严格单调增加或严格单调减少
  • 唯一性：若收敛， 则极限唯一.
  • 有界性：收敛数列有界 (逆否命题：无界数列发散)
  • 保号性: 设则当
  • 保序性: 设则当时有
  • 保序性逆定理: 设且使则
  • 四则运算：同数的四则运算.
  • 单调数列必有极限.
  • 柯西准则: 数列收敛的充要条件为对任意给定的当时对存在

函数的极限

定义：类似数列，不过 "n > N" 在处的极限变为 利用定义证明极限时，若为的极限，则需要利用放缩，赋 N 为定值扽等方式将的式子凑成含有结构的式子.

相关性质

  • 唯一性
  • 局部有界性
  • 局部保号性
  • 保序性逆定理：若则存在 k > 0, 使得时，有 A B.
  • 保序性：若 , 则存在 k > 0, 使得时，f (x) > g (x)
  • 迫敛性：如果 , 使得当时， 有 , 且 , 则
  • 四则运算：与数的四则运算相同.
  • 柯西准则: f (x) 极限存在的充要条件是

重要的极限

例题

1. 证明. 因为 , 不妨设 N 1, 则 x(0, 2), 原式 4|x-1|, 即 | x - 1| e/4, 因此只要 N 取 min {e/4, 1} 即可. 2. 求. 取两个数列都收敛到 0, 极限不存在.

无穷大与无穷小

定义

注：所有无穷大与无穷小都是相对某个变化而言的， 某些操作 (如比较) 必须发生在同一变化的无穷大 (小) 上. 无穷大: 极限为的过程。无穷小: 极限为 0 的过程.

运算性质

  • 有限个无穷小的和，乘都是无穷小.
  • 无穷小与有界变量的乘积为无穷小.
  • 无穷小与极限不为 0 的变量的商是无穷小. 证明: 设 , b > 0, 根据局部有界性，存在 a > 0, 当 x 时有 因此，0 <1/g (x) < 2/b, 则 g (x) 有界，所以 f (x) g (x) 为一个有界量乘无穷小，为 0.

比较 (以无穷小为例， 无穷大可以类比)

  1. 若 , 则称在这个过程中，f (x) 是 g (x) 的高阶无穷小.
  2. 若 , 则称在这个过程中，f (x) 是 g (x) 的低阶无穷小.
  3. 若为常数且 , 则称在这个过程中，f (x) 是 g)(x) 的同阶无穷小.
  4. 若 , 则称在这个过程中 f (x) 是 g)(x) 的 k 阶无穷小.
  5. 若 , 则称在这个过程中，f (x) 是 g (x) 的等价无穷小，记作 f (x) ~ g (x).
  6. 若不存在， 则 f (x) 与 g (x) 在这个过程中无法比较. 求极限时， 可以对函数作同过程的等价无穷小替换， 但是注意替换后分子或分母不能变成 0.

连续

定义: , 称 f (x) 在 x = 这一点连续。定义 2: . 本质: f 可与互换. 充要条件: 左极限等于右极限. 特殊情况 -- 一致连续: 设在上有定义对有 , 则称 f (x) 在 I 上一致连续.

间断点

和都存在，为第一类间断点。若 , 为可去间断点。若 , 为跳跃间断点. 和不都存在，为第二类间断点。若其中一个极限 , 为无穷间断点. 若类似这样不停震荡的， 为震荡间断点.

初等函数都是连续函数. 连续函数的初等变换结果仍是初等函数.

介值定理: 若 f (x) 在 [a, b] 连续，, , . 有界性定理：闭区间连续函数在区间上有界。根存在定理。最大， 最小值定理.

导数

定义

导数：若 f (x) 在 u (l, a) 内有意义且极限 lim (x->0, y/x) = lim(x->0, "f(l + x) - f(l)" / x) exists. 左 (右) 导数: 若导数定义中的 "x->0" 改为 "x->0+"(或"x->0-") 则为 f (x) 在 l 处的左 (右) 导数. 单侧导数：左导数与右导数。有限增量公式 : y = f^{'}(x)x + ax a 是 x->0 时的无穷小 幂指函数: 底数与指数都含有自变量的函数.

定理

  1. 连续是可导的必要不充分条件
  2. 可导函数的反函数，四则运算，复合操作得到的函数依然可导.

运算法则

加减与数运算相同。乘法: 有限个可导函数乘积的导数等于每个函数的导数与其余各个函数乘积和。除法: 复合函数: (f (g (x)))^{'} = f{'}(g(x))g{'}(x) 反函数: 设严格单调连续 y=f (x), 则 记得将 x 换成 y. 幂指函数: 将底数的 x 变成放入指数， 然后正常求导.

求导公式

secx => secxtanx cscx => -cscxcotx 莱布尼茨公式: 从到 参数方程求导:

例题

1. 求的 n 阶导数 发现项，若直接求导， 会使得项数越来越多而无法进行，故将原式拆开成 , 然后分开求导， 得 ***** 2. 求 先证明 n = 1 时成立，然后用数学归纳法，注意证 n = k + 1 时不要将试图求函数的 n 阶导数，而要令 n = k 的左右同时求导来导出 n = k + 1 时.

微分

定义

微分 (或线性主部): y = f(l + x) - f (l) 可以表示为 y = Ax + o(x), 则称 A*x 为 f (x) 在 l 处的微分. o 为 x->0 时的无穷小

微分与导数的关系：当 x->0 时，A =

几何意义

定理

微分定理
当 x 较小时，o*x 可以忽略，则有：设 dx = x dy = 可微一定可导， 但只有一元函数可导一定可微。微分的运算法则与基本公式与导数相同. 一阶微分的不变性.

微分中值定理与导数的应用

微分中值定理

定义

极大值: f (x) 在 U (l) 有定义，若存在 x∈U (l), f (x) f (l), 则 f (l) 是最大值 极小值: f (x) 在 U (l) 有定义，若存在 x∈U (l), f (x) f (l), 则 f (l) 是最小值 极值: 极大值和极小值。极值点：使 f (x) 为极值的 x 称为极值点。驻点：若 , 则 x 为驻点.

定理

费马引理
若 f (x) 在 x=a 处取极值且可导，则 > 利用 f (a) > f (x), 构造导数定义， 后讨论左导与右导正负性，利用可导等价左导等于右导，得导数为 0.
罗尔定理
若 f (x) 在 [a, b] 连续，(a, b) 可导 f (a) = f (b) 则存在 h∈(a, b) 令 无条件1的反例 无条件2的反例 无条件3的反例 > 闭区间连续使用介值定理得出有 max 与 min, 端点相等得到 max > f (a) = f (b) 和 min < f (a) = f (b) 必据其一，则 (a, b) 存在一个极值， 由可导推出导数为 0.

证明 **** 拉格朗日中值定理：若 f (x) 在 [a, b] 上连续，(a, b) 可导，则存在 c∈(a, b) 使 > 利用罗尔定理，希望端点相等，故考虑转动坐标系， 则得出 g (x) = f (x) - "f (b) - f (a)" / "b - a" * (x - a), 然后利用罗尔定理证明

证明 **** 柯西中值定理：若 f (x), g (x) 满足 [a, b] 连续，(a, b) 可导，g^{'}(x) != 0, 则存在 l∈(a, b) 使得 f^{'}(x) /g^{'}(x) = "f (b) - f (a)" / "g (b) - g (a)" > 将拉格朗日证明中的 x, b, a 换成 g (x), g (b), g (a)

证明 **** 泰勒中值定理：若 f (x) 在 x-= 处 n+1 阶可导，则有

拉格朗日中值定理推论：若 f^{'}(x)=0, x∈(a, b), 则 f (x)=c, x∈(a, b) 积分准则：导数相同的两个函数只差一个常数

泰勒公式

函数是无穷维的向量 线性组合: 将一个一般的向量表现为一组简单的向量的求和.

两种级数 傅立叶级数: 幂级数:

解决三个问题，得出泰勒公式 1. 表示成幂级数的条件是什么？f (x) 有处可导，

  1. 确定 取 , 则 由幂级数的公式， 发现如果求一阶导，则会消失还会剩下的结构使得取值后被消掉只剩下 则 由此得到

  2. "+..." 如何表示？皮亚诺公式 若 f (x) 在 U () 中 n 阶可导，则在此邻域内有 f (x) = 证明: 构造 R (x) = f (x) - 则只要证明 易知 R (x) 及 n 阶导数都为 0 则对极限用 n-1 次洛必达法则，得原式 = 注意: 因为 R (x) 的 n 阶可导只能得出 n-1 阶连续，则再用洛必达法则无法求出极限. 此时应用柯西中值定理: = = = 0

一些常用的展开公式 (当 x=0 时)

例题

1. 设 f (x) 在 [a, b] 连续，在 (a, b) 二阶可导，且 f (a) = f (b) = 0, , 求证使得 可知而由罗尔定理可知故在上单减则使得 **** 2. 求证 n 个未知量的基本不等式.

函数图像

一些定理

极值点第一定理
是极值点的 充分不必要条件为存在的一个邻域，两边导数符号相反. 极值点第二定理
是极值点的 充分不必要条件为存在且 , 则为极值点。拐点
若 f''() = 0 或不存在，且两侧异号，则为 f (x) 的一个拐点。上凸
区间内二阶导数小于 0 或任意割线在曲线下方或任意切线在曲线上方的或函数的一段。下凸
区间内二阶导数大于 0 或任意割线在曲线上方或任意切线在曲线下方的函数的一段.

增减性判断

函数在某点的增 (减) 的充要条件是该点的偶数次导数值为正 (负), 且小于其次导数值为 0.

渐进线求法

竖直渐进线: , 则 x = 为渐进线。水平渐进线: , 则 y = b 为渐进线。斜渐进线: 且都存在，则 y = kx+b 为渐进线. 水平渐进线与斜渐进线条数和最大为 2.

图像描绘重点

  • 定义域
  • 周期性，奇偶性，凹凸性
  • 不可导点，驻点
  • 不连续点，零点，与 y 轴交点，端点 (如果是闭区间)
  • 渐进线

积分

相关定理

微积分基本定理：若 f (x) 在 [a, b] 上连续，则. 压迫定理：若 f (x)(或) g (x), 则或. 原函数定理：若 f (x) 在 [a, b] 连续，则在 [a, b] 可导且为 f (x) 的一个不定积分. 设 F (x) = , 则 F (x + ) - F(x) = , 则 , 则上下都 , 利用洛必达法则可证. 变上限定理: . 参数方程积分: 设则 , 如果是定积分， 记得将上下限换成 t 的上下限.

运算律

具有线性性质。积分与微分互为逆运算，与 d 可以抵消. = -.

求不定积分

构造法

**** **** **** ****

换元法

令原式 解释：出现分母在根号里面的时候多使用换元法消去根号， 如果式子比较一般通常直接令 t = 根号. **** 令原式 解释：出现时用 x = asint 代换. **** 令原式 解释：出现在分母上多用 x = tant 代换. **** 令原式 解释：出现用 x = 代换. **** 解释：对于分母次数高于分子次数时，考虑倒代换. **** 令原式 解释：看到式子中同样的指数函数反复出现，则令 t = 指数函数.

分步积分

公式:

解释：因为的导数不变，所以一般都把放进去，构造分部积分的形式. 之后发现每分部积分一次 x 次数降一，故连用两次分部积分即可. **** 其后，利用换元法得到 解释: 将反三角函数等知道导数但不知道不定积分的部分利用分部积分放入 d 中. **** 解释: 这种指数函数和三角函数乘积的求导放那个进 d 都行， 三角函数放 d 里需要经过两次分部积分换回原式子后当作方程解决. **** 解释: 含有三角函数的分部积分在没有其他办法时要尝试凑出原式子. **** 解释: 在没有更加合适的部分的时候，分式也可以放进 d 里. **** 解释：可以先用构造，在观察使用分部积分. **** 再使用一次分部积分，得 **** 可用构造法 结合以上两个式子递推. 解释:

有理分式

设 R (x) = , 次数为 n, 次数为 m. 若 nm, R(x) = S(x)+ , 其中的次数小于的次数。若 n m, 一定可以使 R (x) = S (x) + 设 I = 当 n$$2 时， 右边项的做法可由换元法最后一题得到。当 I = 1 时，

三角函数有理式

根据三角万能公式: + +

如果令 t = tan + sinx = + cosx = + dx =

化成有理分式计算.

无理函数

对于 , 即可化为 t 的有理分式求解.

定积分

相关定义

光滑函数
二阶可导的函数。充分光滑函数
无穷可导的函数.

变限积分

对于求导， 只需要将 f (x) 替换积分号内的所有 t, 再去掉积分号即可.

三角定律

, 只要 f (x) 在 [0, 1] 连续. 这个定律表明 sinx 和 cosx 在区间上可以互换. 令原式 将 sint 和 cost 互换， 得

求弧长

光滑曲线可以求弧长。则光滑函数 f (x) 取 x 为积分变量，区间 [a, b], f (x) 在 [x, x+dx] 上的长度可以用下界 x 处切线在 [x, x+dx] 上的长度取代，得到 如果 f (x) = b (t), x = a (t) 如果 r ()

求面积

所有面积题，被积函数都应该变成绝对值 极坐标下面积公式: dA = , 注意极坐标函数求面积是指在笛卡尔坐标系下的情况。旋转曲面：取 [x, x+dx] 一段，底面半径为 f (x), 注意因为弧长变化可以很大，高不能看成直线， 必须使用弧微分，通过表面积等于 2 底面半径乘高得 dS =

求体积

如果截面面积好求

则 V = , A (x) 为截面面积.

如果是旋转体

设旋转体由曲线 f (x), x = a, x = b 和 x 轴围成的梯形旋转而成。如果绕 x 轴: V = 如果绕 y 轴 1. 通过去矩形体积微元，得 V = 2. 通过好求的两部分体积之差.

广义积分

定义

无穷区间上: 无界函数上: + 若或 , 则称或为的广义积分. + 若 c[a, b], , 则

相关定理

存在是存在的双不条件. 柯西准则：若 , 则存在. 控制收敛定理: 收敛，A(a, ), |g(x)| |f (x)| 是收敛的充分不必要条件.

空间解析几何

旋转曲面
以平面曲线 C 绕旋转轴 L 旋转一周形成的曲面，C 成为母线。柱面
平行于定直线 L 且沿曲线 C 移动的直线形成的曲面称为柱面，C 为准线，L 为直母线. 投影定律：欲求一个图形在某个坐标面上的投影， 只需要在方程中只留下代表坐标面的那两个坐标，如果某 (些) 参数有范围限制， 投影为那些参数取范围里所有特值得到的图形投影最大面积.

平面

平面法向量为 设点 A (, , ), B(, , ), C(, , ) 在平面上.

平面的点法式方程:

平面的一般方程: 当 D = 0 时，平面过原点。当 = 0 时，平面与 x 轴平行 (D 0) 或通过 x 轴 (D = 0), y, z 以此类推.

平面的三点式方程: = 0

平面束方程: 设直线l为 $

$ 则所有过 l 的平面为 , k, n 为任意常数. 如果两个面平行，则该方程为与他们平行的所有平面.

平面 F (x, y, z) = 0 在 M () 切平面的法向量和法线的方向向量为 ()

直线

设点 M (, , ), N(, , ) 在直线 l 上。直线的方向向量为 (m, n, p)

点向式方程为: . 若 m = 0, 则方程为 x = ;

参数方程: x = + mt; y = + nt；z = + pt

两点式方程:

由于直线可看作两个平面的交线，故直线方程可写成两个平面方程的联立， 直线的方向向量两个平面的法向量的叉乘.

直线的切线与法平面：直线的参数方程在 p () 的 x, y, z 的导数就是 p 点切线的方向向量和法平面的法向量。做题时，可以令 x = t 求 y (x) 和 z (x) 的偏导.

异面直线之间的距离为两条直线的法向量和与两直线都相交的直线的方向向量的混合积比公共法向量的模.

曲面

曲面面积公式：对曲面 f (x, y). S =

旋转定律：若母线 f (x, y) = 0 绕 x (或 y) 轴旋转，则旋转体的方程为 f (x (或 y), 或) = 0, 其他情况同理.

曲面 f (x, y, z) 的法向量的方向余弦为: 1. 对 x 轴，cosa = 2. 对 y 轴，cosb = 3. 对 z 轴，cosc =

曲面面积乘上某坐标的方向余弦即为对另外两个坐标的双坐标面投影的面积.

对称性

方程关于那个自变量是偶函数，方程就关于不含那个自变量的平面对称.

方程关于哪个自变量是奇函数，方程就关于哪个平面相反.

多元函数

定义与性质

设数轴上的点集 E 和任意一点 P.

内点
a>0, U(P, a)E, 则 P 是 E 的内点.
外点
a > 0, U(P, a)E = , 则 P 是 E 的外点.
边界点
a > 0, U(P, a)E 且两集合没有包含关系 , 则 P 是 E 的边界点.
聚点
a > 0, , 则 P 是 E 的聚点.
孤立点
a > 0, U(P, a)E = {P}, 则 P 是 E 的孤立点.
开集
所包含的每个点都是内点的点集.
连通
若 E 中任意两点都可以用属于 E 的若干条直线段连接，则 E 连通.
开区域
连通的开集.
闭区域
开区域及边界.
有界集
k > 0, EU (O, k), O 是原点，则 E 为有界集.
无界集
不存在有界集中的 k 的点集.
多元函数的极限
设 f (x, y) 的定义域为 D, P 是其聚点，若 a > 0, b, 使得 0 || = b 的一切点都有 | f (x, y) - A| D 成立，则 A 是 f (x, y) 当 x, y 时的极限. P 的趋进方式应该是任意的.
累次极限
连续
设 f (P) 的定义点集为 D, 若是 D 的聚点且

多元函数拥有介值定理，一致连续定理， 运算复合连续等一元函数拥有的所有定理，只是将区间换成区域 E 的边界点的集合记作 E, 他们可能属于 E 也可能不。孤立点属于 E, 是边界点。聚点可能属于 E 也可能不属于. 聚点内点 + 边界点。若 f (x, y) 在不同趋进方式下极限不一样，则 f (x, y) 在那个变化范围里没有极限. (可以用 y = kx, 或 x = ky 看看极限值与 k 有无关系来判断 f 没有还是有极限) 若累次极限和重极限都存在，则它们相等.

偏导数

显函数偏导数

定义：设 f (x, y) 在有定义，则当 y = , x 在处有增量时，如果 , 则 A 为 f (x) 在处对 x 的偏导数，记为

f 在 x 处的偏导数即将除 x 外其他自变量看成一个常数后 f 的导数. 偏导数服从一元导数的定律.

但是偏导数的存在性与 f 的连续性无关系.

偏导数记号是一个整体不能将各部分拆分单独运算.

若 f (x, y) 的两个混合偏导数在一个点集内连续， 则该点集上两个混合偏导数相等.

链式法则
如果 g (x) 和 f (x) 在可导，h (g, f) 在 (g (), f()) 可微，则 h (g (x), f (x)) 在可导，且 , 可以推广到多元函数时，如果中间变量为多元函数，则导数变为偏导数. 公式右侧的偏导数中的变量都不再视为函数. 求导时， 注意中间变量和最终变量的区别，如果两者用同一个字母表示， 建议将中间变量加上 f 标记. 
graph LR
h --> g
h --> f
g --> x
f --> x

如图，同一列间相加，不同列间相乘

隐函数 (偏) 导数

隐函数 (偏) 导数存在定理 1
当 f (x, y) = 0 在 p (, ) 的某一邻域内有连续偏导数，p 在 f 上， , 则 f (x,y) = 0 在 p 的某一邻域内能确定一个单值连续且具有连续导函数的函数 y = f (x), 且 , 对多个变量的情况也适用， 对应变量微商为对应偏导数比值的倒数.

隐函数组 (偏) 导数存在定理：设 a = , 则若其在 p () 的某个邻域内有连续偏导数，且 p 在 F 和 G 上，, 则 a 在 p 的那个邻域内有偏导数

方向导数

定义：设 z=f (x, y) 在 P (x, y) 的某一邻域 U ( P) 内有定义，A (x+x, y + y)U (P), 若存在，则称其为 z = f (x, y) 在 P 处沿 PA 方向导数， 记作

求解定理：如果 f (x, y) 在 P (x, y) 可微，则其沿任意方向 l 的方向导数都存在， 且有为 x 轴到 l 的转角

梯度：若 f (x, y) 在 D 中有连续一阶偏导数，则对于 P (x, y)D, 都有 , 这个向量成为 f 在 P 的梯度， 记为 gradf (x, y)

函数在某点梯度方向与最大方向导数一致，模为方向导数最大值.

微分

f 在 (x, y) 处对 x 的偏微分为

微分定理

设变量 z 与 n 为向量 , 则

微分存在是 f 的每个偏导数存在的充分非必要条件. f 的每个偏导数存在且连续是微分存在的充分非必要条件. 可微一定可导并连续

全微分

f 在 (x, y) 处的全微分为

全微分不变性
无论 f (x, y) 中的 x, y 是函数还是变量，他们的全微分形式不变.

几何意义: z = f (x, y) 在 () 的全微分表示该方程表示的曲面在点 () 处切平面上点的 z 坐标的增量.

极值

多元函数在极值点处偏导数都为 0.

设 , 若 , 有极值，时是极小值，时是极大值。若 , 无极值。若 , 需要进一步讨论.

条件极值

拉格朗日乘数法
欲求函数 f (x, y) 在条件 g (x, y) = 0 下的极值，可由 求出 x, y, k. (x, y) 就是可能的极值点的坐标。此公式也就是 h (x, y) = f (x, y) + kg (x, y) 的极值点.

积分

定积分

连续或分片连续函数都是可积的.

dxdy 即代表着 xOy 平面，其他以此类推.

二重积分中值定理：设 f (x, y) 在 D 上连续，则 D 上至少存在一点 (a, b), 使得

x 型区域
x 上限是常数，其他变量的上下界为常数或 x 的函数
确定最外侧积分变量的区间
所有与它有关的函数中其取值的最小值到最大值.

多元函数积分对称性化简: 1. 积分区域函数必须具有对称性， 也即存在偶函数自变量. 2. 被积函数对积分区域的偶函数自变量是奇函数的项结果为 0, 偶函数的项结果为区间减半时结果的两倍. 3. 被积函数对应的变量与化简无关.

若积分区域里存在等式 , 可以代换到被积函数里去， 但是不等式不行.

例题

思路：因为 I 直接积分不好积分， 可以将这个一元定积分用平方形式换成二元然后换元. 令 x = rcosa, y = rsina. 原式 =

极坐标系中的直角坐标系下的 dxdy 同理，球坐标中的 直角坐标系下的 dxdydz

曲线积分

边界曲线的正向即围成的区域在左手时的方向.

路径无关
如果区域内任意两条共起止点的光滑有向曲线存在曲线积分相等或任意闭合权限积分为 0, 则称那个积分与路径无关.
定义
f (x, y) 在曲线上有定义，将曲线等分成 n 段，每段取一个点 (a, b) 计算 f (a, b), 如果 f (a, b) 乘上曲线长度的累加和
存在条件
当 f (x ,y) 在光滑曲线 L 上连续时存在

计算定理:

第一类
若 f (x, y) 在 L 上有定义连续，设 L = 则对三元函数类似， 记得上限始终大于下限.(若某个变量为一个定值，他的导数视为 1, 若没有， 导数视为 0)
第二类
本质上就是对向量积的积分转换成对坐标积分的和， 和第一类一样有积分曲线是参数方程的计算法，不过上线可以小于下限.

设开区域 G 是个单联通域，f (x, y), g (x, y) 在 G 内有一阶连续偏导数，则 1. 在 G 内路径无关 2. 3.

格林公式
设闭区域 D 由分段光滑曲线 L 围成，f (x, y) 和 g (x, y) 在 D 上有一阶连续偏导数，则

曲面积分

曲面投影问题：在有向曲面 a 上取一小块 , 其在 xoy 面上的投影 () 当 cosd > 0 时为正， 0 时为负，等于 0 时为 0. d 为 a 的法向量与 z 正半轴夹角.

定义：光滑曲面 a, f (x, y, z) 在 a 上有界。把 a 分成 n 块，取点，乘上小块面积， 作和。若 n 趋向无穷时极限存在，则称其为 f 在 a 上对面积的曲面积分.

存在条件：被积函数在光滑曲面上连续.

计算公式:

第一型
若曲面 a = . 如果变成二重积分，积分面积就是曲面对两个自由变量的代表的平面的投影， 根号里面就是被表示的那个变量作函数对三个变量导数的平方和 (注意根号部分不能恒为 0)
第二型
本质上就是函数对有向积分曲面的某一个面投影积分，对哪个双变量面投影， 就用那两个变量做积分变量，其余同第一型，注意正负号.

注意，曲面积分不遵守对称计算规律

两型转换公式
, 其中 P, Q, R 分别为 x, y, z 坐标的坐标函数，b, c, d 分别为积分曲面对 x, y, z 轴的方向角， S 为积分曲面的面积.

曲面投影到积分曲面上应该对每个点做的垂线只有一个交点， 如果不满足需要分别求

高斯公式
设空间闭区域 a 由分片光滑的外测闭曲面 b 围成，f (x, y, z), g (x, y, z), h (x, y, z) 在 a 上有一阶连续偏导数，则

级数

若收敛， 则收敛.

级数加括号后收敛性不变。但是去掉括号则不一定.

级数收敛

柯西收敛准则
收敛的充要条件是当时
比较判别法
设和都是正常级数，, 则若收敛，收敛.
极限判别法
设和都是正项级数， 若 , 则: 1. 0 l , 两级数敛散性相同. 2. l = 0, b 收敛 a 收敛. 3. l = , b 发散 a 发散.
比式判别法 / D'Alembert 判别法
是正项级数， 若 , 可充分不必要地得出 k 1 收敛，> 1 发散，= 1 无法使用.
根式判别法 / 柯西判别法
是正项级数， 若 , 则 1 收敛， 1 发散，=1 无法使用.
莱布尼茨定理
如果交错级数满足则级数收敛，和 , 其余项 ||

若收敛， 则收敛

绝对收敛
收敛
条件收敛
发散，收敛， 则称其为条件收敛

函数项级数

收敛点
如果对于 , 数项级数收敛，则为此级数的收敛点
发散点
如果对于 , 数项级数发散，则为此级数的发散点
收敛域
收敛点组成的域.
发散域
发散点组成的域.
和函数
收敛域上，函数项级数的和
幂级数
的级数称为幂级数.
Abel 定理
如果幂级数在处收敛， 则他在满足不等式 x 的一切 x 处绝对收敛，若发散， 则它在处都发散
收敛半径
幂级数中恰好处于收敛与发散域界上的正数 R

若幂级数所有系数！=0, 设或 , 则 Rp = 1

幂级数和函数在收敛区间内连续，可积，无限次可导，且极限， 积分与求导运算符可以与求和号交换.

函数运算

幂级数代数运算律
设两个幂级数的收敛半径为 R 和 P, 则两者加减得到的新幂级数半径为 RP;

部分和函数的结果

幂级数展开

幂函数展开与泰勒函数展开的不同: 1. 泰勒函数展开是某点上的， 而幂函数展开是整个函数上的. 2. 泰勒函数展开要求函数在那个点无穷次可导， 幂函数不要求. 3. 泰勒函数展开只能保证在展开点等于函数本身， 幂函数一定等于函数本身. 4. 泰勒函数展开有公式可循， 幂函数只能依靠已知展开推导.

函数的幂函数展开就是函数的泰勒函数.

泰勒级数

f (x) 的展开式的

f (x) 在处的泰勒级数，在 U () 收敛于 f (x) 在 U () 内 (泰勒公式在处的拉格朗日余项)

, 则 f (x) 在 U () 内可展开成点的泰勒级数.

基本展开式

三角级数

简谐振动函数
三角级数
令
三角函数系
1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, cosnx, sinnx,

三角函数系里任意了两个不同函数成绩的积分在 [, ] 上积分为 0, 即三角函数系具有正交性.

若周期为 2k,

f (x) 展开的三角级数为

欲求 , 将两边乘上 cosnx 后同时积分，得到

欲求 , 将两边乘上 sinnx 后同时积分，得到

当 k = 时，

欲求 , 将两边同时积分， 得到

欲求 , 将两边乘上 cosnx 后同时积分，得到

欲求 , 将两边乘上 sinnx 后同时积分，得到

奇函数的三角级数一定只含有 sin 项。偶函数的三角级数一定只含有 cos 项.

Dirichlet 收敛定理

设 f (x) 是以 2 为周期的周期函数或只在 [] 定义的函数 (可以通过沿拓变成周期函数), 如果它满足: + 在一个周期内没有或有限个可去或跳跃间断点. + 在一个周期内没有或有限个极值点.

则 f (x) 的的三角级数收敛，且: + 是间断点 , 级数收敛于. + 是连续点 , 级数收敛于 f ().

微分方程

微分方程中任意常数个数与阶数相同.

一阶线性齐次方程

形式: 通解:

可化为齐次的方程

对 , 可令 X = x + k, y = y + h, 使得 ah + bk + c = 0, . 则可化成齐次方程求解。如果 h, k 无解，则 a, b 成比例，可提出因子换元.

一阶线性非齐次方程解法

形式: 通解:

Bernoulli 方程

形式: 通解:

全微分方程

形式: 通解:

注意，全微分方程必须曲线积分与路径无关

积分因子法

形式：设 u (x, y)$$0 连续可微，若 u (x, y) P (x, y) dx + u (x, y) Q (x, y) dy = 0 是全微分方程，则 u (x, y) 是方程的积分因子

常见的常微分表达式

高阶微分方程

可降阶方程

对于 , 可以不断积分求解.

对于 , 可以令 f (y) = , 变成 f 的积分求解.

对于 , 可以令 f (y) = 变成 f 的 n-1 阶积分求解.

线性方程

两个商不为常数的函数线性无关.

对于二阶线性齐次方程的解 , 如果这两个函数线性无关，则是通解 对于二阶非线性齐次方程的通解， 只需要在其对应的二阶线性齐次方程的通解基础上加上一个特解.

特征方程法

对于 , 设 , 将其代入以上方程， 得到. 解出 r,
若两个根，就是 y 对应的两个特解.
若一个根，两个特解为
若无解，. a, b 为解的实部和虚部.

对于 n 阶:
若是 k 重根 r, 若是 k 重共扼复根